বস্তুর একমাত্রিক গতি ও কলনবিদ্যার প্রয়োগ
দ্রুতি (Speed):- একটি বস্তু কণা ক্ষুদ্র dt সময়ে dl দূরত্ব অতিক্রম করলে তাৎক্ষণিক দ্রুতি v=$\frac{dl}{dt}$
বেগ( Velocity)
একটি বস্তুর ক্ষুদ্র dtসময়ে সরণ ds হলে তাৎক্ষণিক বেগ V=$\frac{ds}{dt}$
ত্বরণ( Acceleration): কোন বস্তুর ক্ষুদ্র dt সময়ে বেগের পরিবর্তন dv হলে এর তাৎক্ষণিক ত্বরণ a=$\frac{dv}{dt}$
a)b,-4d b)b,2c c)-b,-2c d)2c,-4d.
[Ans:-b]
2.একটি বস্তুকণার সরণ (x) ও সময়(t) নিম্নলিখিতভাবে সম্পর্কযুক্ত ;$x=at+bt^2-ct^3$: যেখানে a, b, c ধ্রুবক। যখন ত্বরণ শূন্য হয়,তখন কণার বেগ হবে -
a)$a+\frac{b^2}{c}$ b) $a+\frac{b^2}{2c}$ c)$a+\frac{b^2}{3c}$d)$a+\frac{b^2}{4c}$
[Ans:-c]
3.একটি বস্তুকণার বেগের সমীকরণ $v=v_0+gt+ft^2$ । t=0 সময়ে বস্তুটির অবস্থান x=0 হলে 1s পরে কণাটির সরণ -
a)$v_0+2g+3f$ b)$v_0+\frac{g}{2}+\frac{f}{3}$ c)$v_0+g+f$ d)$v_0+\frac{g}{2}+f$
[Ans:-b)]
4.একটি সরলরেখা বরাবর গতিশীল কোনো বস্তু কর্তৃক অতিক্রান্ত দূরত্ব t সময়ে \(s=3-4t+5t^{2}\)সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। বস্তুর প্রাথমি বেগ হল -
a)3 Unit b) -3Unit c) 4Unit d)-4Unit
[Ans:-c)4Unit]
[Ans:-c)4Unit]
5.স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে কোনো বস্তুর ত্বরণ a \(m/s^{2}\) এককে সময় t(s এককে) এর সাথে a=3t+4 সমীকরণ অনুসরন করে পরিবর্তিত হয়। বস্তুটির বেগ t=2s সময়ে সরন হবে -
a)10m b)18m c)14m d)26m. [Ans:-b]
6.একটি বস্তুকণা OX সরলরেখা বরাবর চলছে।t s সময়ে O বিন্দু থেকে কণার দূরত্ব X (মিটার এককে),X=\(37+ 27t-t^{3}\)থেকে পাওয়া যায় । কনাটি যখন স্থির অবস্থায় আসবে তখন O বিন্দু থেকে তার দূরত্ব হবে -
a)81m b)91m c) 101m d)111m [Ans:-b)]
7.একটি বস্তু x অক্ষ বরাবর যাচ্ছে এবং কোনো সময় তার সরন হল x(t)=\( 2t^{3}-3t^{2}+4t \)(SI এককে)। তাহলে কণাটির ত্বরণ যখন শূন্য হবে তখন তার বেগ হবে -
a)2.5m b)3.5m c)4.5m d)8.5m.
[Ans:-b)]
8.t=0সময়ে একটি বস্তু কণা x=0অবস্থানে রয়েছে।এবার কণাটি $v=a\sqrt{x}$ (a হল ধ্রুবকঃ ) বেগ নিয়ে ধনাত্মক xঅক্ষ বরাবর চলতে শুরু করল। বস্তুটির সরন সময়ের সাথে কিভাবে পরিবর্তিত হয়?
a)$t^2$ b) $t$ c)$t^{\sqrt{2}}$ d)$t^3$
[Ans:-a)]
9.একটি বস্তুকণার বেগের সমীকরণ v=at । ওই বস্তুকণাটি প্রথম 4 সেকেন্ডে যে দূরত্ব অতিক্রম করে তা হল -
a)4a b)8a c)12a d)6a
[Ans:-b)]
Solutions
1.Initial Velocity and Acceleration Calculation
Given displacement equation:
\( y = a + bt + ct^2 - dt^4 \)
Velocity is obtained by differentiating displacement:
\( v = \frac{dy}{dt} = b + 2ct - 4dt^3 \)
Initial velocity is velocity at \( t = 0 \):
\( v_0 = b + 2c(0) - 4d(0)^3 \)
\( v_0 = b \)
Acceleration is obtained by differentiating velocity:
\( a = \frac{dv}{dt} = 2c - 12dt^2 \)
Initial acceleration is acceleration at \( t = 0 \):
\( a_0 = 2c - 12d(0)^2 \)
\( a_0 = 2c \)
Final Answers:-(b)
Initial Velocity: \( v_0 = b \)
Initial Acceleration: \( a_0 = 2c \)
2.Velocity When Acceleration is Zero
Given equation of motion:
\( x = at + bt^2 - ct^3 \)
Velocity is the first order derivative of displacement with respect to time:
\( v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (at + bt^2 - ct^3) \)
Calculating derivative:
\( v = a + 2bt - 3ct^2 \)
Acceleration is the first order derivative of velocity:
\( a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (a + 2bt - 3ct^2) \)
Calculating derivative:
\( a = 2b - 6ct \)
Setting acceleration to zero:
\( 2b - 6ct = 0 \)
Solving for t:
\( t = \frac{2b}{6c} = \frac{b}{3c} \)
Now, substitute this value of t into the velocity equation:
\( v = a + 2b \left( \frac{b}{3c} \right) - 3c \left( \frac{b^2}{9c^2} \right) \)
Simplifying:
\( v = a + \frac{2b^2}{3c} - \frac{3b^2}{9c} \)
\( v = a + \frac{2b^2}{3c} - \frac{b^2}{3c} \)
\( v = a + \frac{b^2}{3c} \)
Final Answer: \( v = a + \frac{b^2}{3c} \)
3.Displacement After 1s
Given velocity equation:
\( v = v_0 + gt + ft^2 \)
Displacement is obtained by integrating velocity:
\( x = \int v dt = \int (v_0 + gt + ft^2) dt \)
Performing integration:
\( x = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2 + \frac{1}{3} f t^3 + C \)
Given that at \( t = 0, x = 0 \), we find \( C = 0 \).
Thus, the displacement equation becomes:
\( x = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2 + \frac{1}{3} f t^3 \)
Now, substituting \( t = 1s \):
\( x = v_0 (1) + \frac{1}{2} g (1)^2 + \frac{1}{3} f (1)^3 \)
\( x = v_0 + \frac{g}{2} + \frac{f}{3} \)
Final Answer: \( x = v_0 + \frac{g}{2} + \frac{f}{3} \)
4.Initial Velocity Calculation
Given displacement equation:
\( s = 3 - 4t + 5t^2 \)
Velocity is the first derivative of displacement with respect to time:
\( v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (3 - 4t + 5t^2) \)
Calculating derivative:
\( v = -4 + 10t \)
Initial velocity is obtained by substituting \( t = 0 \):
\( v_0 = -4 + 10(0) \)
\( v_0 = -4 \)
Final Answer: Initial velocity \( v_0 = -4 \)
5.Displacement Calculation
Given acceleration equation:
\( a = 3t + 4 \)
Velocity is obtained by integrating acceleration:
\( v = \int (3t + 4) dt \)
Performing integration:
\( v = \frac{3}{2} t^2 + 4t + C_1 \)
Given that \( v = 0 \) at \( t = 0 \), we solve for \( C_1 \):
\( 0 = \frac{3}{2} (0)^2 + 4(0) + C_1 \Rightarrow C_1 = 0 \)
Thus, the velocity equation simplifies to:
\( v = \frac{3}{2} t^2 + 4t \)
Displacement is obtained by integrating velocity:
\( s = \int \left( \frac{3}{2} t^2 + 4t \right) dt \)
Performing integration:
\( s = \frac{3}{6} t^3 + \frac{4}{2} t^2 + C_2 \)
\( s = \frac{1}{2} t^3 + 2t^2 + C_2 \)
Assuming \( s = 0 \) at \( t = 0 \), we get \( C_2 = 0 \).
Substituting \( t = 2 \):
\( s = \frac{1}{2} (2)^3 + 2(2)^2 \)
\( s = \frac{1}{2} (8) + 2(4) \)
\( s = 4 + 8 \)
Final Answer: \( s = 12 \)
6.Finding Displacement When Velocity is Zero Second Time
Given displacement equation:
\( x = 37 + 27t - t^3 \)
Velocity is obtained by differentiating displacement:
\( v = \frac{dx}{dt} = 27 - 3t^2 \)
Given that \( v = 0 \), solving for \( t \):
\( 27 - 3t^2 = 0 \)
\( 3t^2 = 27 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t = \pm3 \)
Since \( t = 0 \) was given, the second time velocity is zero is at \( t = 3s \).
Now, find displacement at \( t = 3 \):
\( x = 37 + 27(3) - (3)^3 \)
\( x = 37 + 81 - 27 \)
\( x = 91 \)
Final Answer: \( x = 91 \)
7.Velocity When Acceleration is Zero
Given displacement equation:
\( x = 2t^3 - 3t^2 + 4t \)
Velocity is obtained by differentiating displacement:
\( v = \frac{dx}{dt} = 6t^2 - 6t + 4 \)
Acceleration is obtained by differentiating velocity:
\( a = \frac{dv}{dt} = 12t - 6 \)
Setting acceleration to zero:
\( 12t - 6 = 0 \)
Solving for \( t \):
\( 12t = 6 \Rightarrow t = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
Now, finding velocity at \( t = \frac{1}{2} \):
\( v = 6 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 6 \left(\frac{1}{2}\right) + 4 \)
\( v = 6 \times \frac{1}{4} - 3 + 4 \)
\( v = \frac{6}{4} - 3 + 4 \)
\( v = \frac{3}{2} - 3 + 4 \)
\( v = \frac{3}{2} + 1 \)
\( v = \frac{5}{2} \)
Final Answer: \( v = \frac{5}{2} \) when acceleration is zero.
8.Relation Between Displacement and Time
Given velocity equation:
\( v = a\sqrt{x} \)
Since velocity is the time derivative of displacement:
\( \frac{dx}{dt} = a\sqrt{x} \)
Rearrange the equation:
\( \frac{dx}{\sqrt{x}} = a dt \)
Rewriting \( \frac{dx}{\sqrt{x}} \) as \( x^{-1/2}dx \):
\( x^{-1/2} dx = a dt \)
Integrating both sides:
\( \int x^{-1/2} dx = \int a dt \)
Solving the integrals:
\( \frac{2}{1} x^{1/2} = at + C \)
\( 2\sqrt{x} = at + C \)
Applying initial condition \( x = 0 \) at \( t = 0 \):
\( 2\sqrt{0} = a(0) + C \Rightarrow C = 0 \)
Thus, the relation between displacement and time is:
\( 2\sqrt{x} = at \)
Squaring both sides:
\( x = \frac{a^2 t^2}{4} \)
Final Answer: \( x = \frac{a^2 t^2}{4} \)
9.Displacement Calculation in First 4 Seconds
Given velocity equation:
\( v = at \)
Since velocity is the time derivative of displacement:
\( \frac{ds}{dt} = at \)
Integrating both sides:
\( s = \int at dt \)
\( s = a \int t dt \)
\( s = a \cdot \frac{t^2}{2} + C \)
Assuming \( s = 0 \) at \( t = 0 \), we get \( C = 0 \).
Thus, the displacement equation is:
\( s = \frac{1}{2} a t^2 \)
Now, finding displacement at \( t = 4 \):
\( s = \frac{1}{2} a (4)^2 \)
\( s = \frac{1}{2} a (16) \)
\( s = 8a \)
Final Answer: \( s = 8a \) in the first 4 seconds.
0 Comments
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন